Le verbe monter se conjugue soit avec l’auxiliaire avoir, soit avec l’auxiliaire être.

Lorsqu’il a un complément direct, le verbe monter se conjugue nécessairement avec l’auxiliaire avoir. Par exemple, on dira : Il a monté l’escalier à toute vitesse. On lui a monté un bateau dans cette histoire.
Lorsque le verbe n’a pas de complément direct, les deux auxiliaires sont en concurrence. En fait, on emploie plus souvent l’auxiliaire être que l’auxiliaire avoir lorsque le sujet du verbe est une personne. Ainsi, on dira : Marie est montée dans un autobus. Mais on aurait pu écrire : Marie a monté dans un autobus.
 
Cependant, lorsque monter est employé en parlant d’une augmentation de niveau ou de prix, l’auxiliaire avoir est plus souvent employé que l’auxiliaire être. Alors, la plupart du temps, on dira : Le prix de l’essence a monté en flèche hier. L’eau du lac a monté encore aujourd’hui.